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一、相鄰問題捆綁法
例1 6名同學(xué)排成一排，其中甲、乙兩人必須排在一起的不同排法有( )種
A. 720 B. 360 C. 240 D. 120
解：因甲、乙兩人要排在一起，故將甲、乙兩人捆在一起視作一人，與其余四人進(jìn)行全排列有
種排法;甲、乙兩人之間有
種排法。由分步計數(shù)原理可知，共有
=240種不同排法，選C。
評注：從上述解法可以看出，所謂“捆綁法”，就是在解決對于某幾個元素相鄰的問題時，可整體考慮將相鄰元素視作一個“大”元素。
二、相離問題插空法
例2： 要排一張有6個歌唱節(jié)目和4個舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單，任何兩個舞蹈節(jié)目不得相鄰，有多少不同的排法?(只要求寫出式子，不必計算)
解：先將6個歌唱節(jié)目排好，其不同的排法為
種;這6個歌唱節(jié)目的空隙及兩端共7個位置中再排4個舞蹈節(jié)目，有
種排法。由分步計數(shù)原理可知，任何兩個舞蹈節(jié)目不得相鄰的排法為
種。
評注：從解題過程可以看出，不相鄰問題是要求某些元素不能相鄰，由其它元素將它們隔開。此類問題可以先將其它元素排好，再將所指定的不相鄰的元素插入到它們的間隙及兩端位置，故稱插空法。
三、定序問題縮倍法
例3： 信號兵把紅旗與白旗從上到下掛在旗桿上表示信號?，F(xiàn)有3面紅旗、2面白旗，把這5面旗都掛上去，可表示不同信號的種數(shù)是__________(用數(shù)字作答)。
解：5面旗全排列有種掛法，由于3面紅旗與2面白旗的分別全排列均只能算作一次的掛法，故共有不同的信號種數(shù)是
=10(種)。
評法：在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定順序稱為定序問題。這類問題用縮小倍數(shù)的方法求解比較方便快捷。
四、標(biāo)號排位問題分步法
例4： 同室4人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送來的賀年卡，則四張賀年卡的分配方式有( )種
A. 6種 B. 9種 C. 11種 D. 23種
解：此題可以看成是將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號為1，2，3，4的四個方格里，每格填一個數(shù)，且每個方格的標(biāo)號與所填數(shù)不同的填法問題。所以先將1填入2至4號的3個方格里有
種填法;第二步把被填入方格的對應(yīng)數(shù)字，填入其它3個方格，又有種填法;第三步將余下的兩個數(shù)字填入余下的兩格中，只有1種填法。故共有3×3×1=9種填法，而選B。
評注：把元素排在指定號碼的位置上稱為標(biāo)號排位問題。求解這類問題可先把某個元素按規(guī)定排放，第二步再排另一個元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成。
五、有序分配問題逐分法
例5 有甲、乙、丙三項任務(wù)，甲需由2人承擔(dān)，乙、丙各需由1人承擔(dān)，從10人中選派4人承擔(dān)這三項任務(wù)，不同的選法共有( )種
A. 1260 B. 2025 C. 2520 D. 5040
解：先從10人中選出2人承擔(dān)甲項任務(wù)，再從剩下8人中選1人承擔(dān)乙項任務(wù)，最后從剩下7人中選1人承擔(dān)丙項任務(wù)。根據(jù)分步計數(shù)原理可知，不同的選法共有
=2520種，故選C。
評注：有序分配問題是指把元素按要求分成若干組，常采用逐步下量分組法求解。
六、多元問題分類法
例6： 由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有( )
A. 210個 B. 300個 C. 464個 D. 600個
解：按題意個位數(shù)只可能是0，1，2，3，4共5種情況，符合題意的分別有
，
個。合并總工有
+
=300(個)，故選B。
評注：元素多，取出的情況也多種，可按結(jié)果要求，分成互不相容的幾類情況分別計算，最后總計。
另解：先排首位，不用0，有
種方法;再同時排個位和十位，由于個位數(shù)字小于十位數(shù)字，即順序固定，故有
種方法;最后排剩余三個位置，有
種排法。故共有符合要求的六位數(shù)
=300(個)。
七、交叉問題集合法
例7： 從6名運動員中選出4名參加4×100米接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同的參賽方法?
解：設(shè)全集U={6人中任取4人參賽的排列}，A={甲跑第一棒的排列}，B={乙跑第四棒的排列}，根據(jù)求集合元素個數(shù)的公式可得參賽方法共有
=252(種)。
評注：某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個數(shù)的公式：
來求解。
八、定位問題優(yōu)限法
例8 計劃展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫，排成一行陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且水彩畫不放在兩端，那么不同的陳列方式有( )
A.
B.
C.
D.
解：先把3種品種的畫看成整體，而水彩畫不能放在頭尾，故只能放在中間，則油畫與國畫有種放法。再考慮油畫之間與國畫之間又可以各自全排列。故總的排列的方法為種，故選D。
評注：所謂“優(yōu)限法”，即有限制條件的元素(或位置)在解題時優(yōu)先考慮。
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